Euler's Theorem og Product Exhaustion Problem

Euler's Theorem og Product Exhaustion Problem!

Så snart det ble antydet at produksjonsfaktorene ble betalt som deres marginale produkter, oppstod et vanskelig problem som det har vært en alvorlig debatt blant de berømte økonomene. Det vanskelige problemet som har blitt oppstått er at hvis alle faktorer ble betalt belønninger som tilsvarer deres marginale produkter, ville totalproduktet være akkurat nøyaktig utmattet?

Med andre ord, hvis hver faktor blir belønnet med sitt marginale produkt, skal totalproduktet bortskaffes uten overskudd eller underskudd. Problemet med å bevise at den totale produksjonen vil være bare oppbrukt hvis alle faktorer er betalt belønninger som er like som deres marginale produkter, har blitt kalt "Adding Up Problem" eller Produktutmattingsproblemer.

De to løsningene på problemet med produktutmattelse har blitt fremført. For det første ble det lagt fram en viktig løsning fra PH Wicksteed som antok driften av konstant avkastning til produksjonskala (det vil si den første gradens homogene produksjonsfunksjon) og anvendt Euler-teorien for å bevise produktutmattingsproblemet.

Den andre viktige løsningen er gitt av JR Hicks og RA. Samuleson som brukte perfekt konkurranse modell for bestemmelse av produkt og faktor priser for å bevise produkt utmattelse problem. Vi diskuterer under disse løsningene av produktutmattelsesproblem.

Wicksteeds løsning av produktutmattelsesproblemer med Euler's teorem:

Philip Wicksteed var en av de første økonomene som utgjorde dette problemet og ga en løsning for det. Wicksteed brukte et matematisk proposisjon kalt Eulers teoremåte for å bevise at totalproduktet vil bli bare oppbrukt hvis alle faktorene blir betalt likt deres marginalprodukter.

La Q stå for totalproduksjonen av produktet, en står for faktorarbeidet og b står for faktorkapitalen og c står for land. Forutsatt at det kun er tre faktorer som er ansatt for produksjon. Da innebærer det å legge opp problemet at,

Q = MP _a xa + MP _a X b + MP _c xc

Det vil si at marginalproduktet av faktor a multiplisert med mengden av faktor a pluss marginalproduktet av faktor b multiplisert med mengden av faktor b pluss marginalproduktet av faktor c multiplisert med mengden av faktor c er det totale produkt av fast. Marginale produkter av ulike faktorer kan uttrykkes som partielle derivater. Således kan marginalproduktet av arbeidskraft (dvs. faktor a) uttrykkes som ∂W / ∂a, og marginalproduktet av kapital (faktor b) som ∂W / ∂b, og marginalproduktet av land (faktor c) som ∂W / ∂c, så for å legge opp problemet (dvs. produktutmattingsproblem) som skal oppfylles, må følgende ligning holde godt:

Nå sier Eulers teorem om at hvis produksjonsfunksjonen er en homogen funksjon i første grad, det vil si hvis i Q = f (a, b, c) for en økning i variablene a, b og c med mengden n, utgang Q øker også med n, da Q vil være lik summen av de partielle derivater av produksjonsfunksjonen med hensyn til forskjellige faktorer multiplisert med mengdene av faktorene henholdsvis.

Den homogene funksjonen til den første graden eller den lineære homogene funksjonen er skrevet i følgende form:

nQ = f (na, nb, nc)

Nå, i henhold til Eulers setning, for denne lineære homogene funksjonen:

Således, hvis produksjonsfunksjonen er homogen i første grad, så er ifølge Eulers teorem det totale produktet:

Hvor Q representerer totalproduktet og ∂W / ∂a, ∂W / ∂b, ∂W / ∂c er partielle derivater av produksjonsfunksjonen og representerer derfor de marginale produktene av arbeidskraft, kapital og land henholdsvis. Det følger derfor at hvis produksjonsfunksjonen er homogen i første grad (det vil si der det er konstant avkastning), er det ifølge Eulers teorem, dersom de ulike faktorene a, b og c er betalt, belønninger som tilsvarer deres marginale produkter, vil totalproduktet bare være oppbrukt, uten overskudd eller underskudd.

Vi ser således at Euler's Theorem er i stand til å forklare produktutmattelse når produksjonsfunksjonen er homogen i første grad. På denne måten viste Wicksteed å utnytte konstant avkastning og anvende Eulers teoremåte, som viste at tilsetningsproblemet, det vil si, at hvis alle faktorer blir betalt som deres marginale produkter, vil det totale produktet være akkurat utmattet.

En kritikk av Eulers teorem og Wicksteeds løsning:

Wicksteeds løsning ble kritisert av Walras, Barone, Edgeworth og Pareto. Det ble påstått av disse forfatterne at produksjonsfunksjonen ikke var homogen i første grad, det vil si; Returnering i skala er ikke konstant i den faktiske verden. Således kommenterte Edgeworth satirisk på Wicksteeds løsning: "Det er herlighet i denne generaliseringen som husker filosofiens ungdom. Rettferdighet er en perfekt kube, sa den gamle salven; og rasjonell oppførsel er en homogen funksjon, legger til den moderne savanten ".

Kritikere påpekte at produksjonsfunksjonen er slik at den gir en U-formet langsiktig gjennomsnittskostnadskurve. U-formen av den langsiktige gjennomsnittlige kostnadskurven innebærer at opptil et punkt øker avkastningen til skala, og etter at det reduseres avkastningen til skalaen, oppnås.

I tilfelle et firma fortsatt jobber med økende avkastning, så hvis alle faktorene blir betalt som deres marginale produkter, vil de totale faktorbelønningene overstige totalproduktet. På den annen side, hvis et firma jobber under redusert avkastning, og hvis alle faktorer betales likt deres marginale produkter, vil de totale faktorbelønningene ikke fullt ut avgjøre totalproduktet og vil derfor gi et overskudd. Det følger derfor at Euler's Theorem ikke gjelder, og derfor legger tilpasningsproblemet seg ikke bra når enten det er økende avkastning eller reduksjon av avkastningen.

En annen ulempe som er påpekt i Wicksteeds løsning er at når det er konstant avkastning, er den langsiktige gjennomsnittlige kostnadskurven for firmaet en horisontal rett linje som er uforenlig med perfekt konkurranse. (Under horisontal langsiktig gjennomsnittskostnadskurve, kan firmaet ikke ha en bestemt likevektsposisjon). Men perfekt konkurranse var avgjørende for den marginale produktivitetsteorien og dermed til Wicksteeds løsning. Således fører Wicksteed-løsningen oss til to motstridende ting.

Wicksell, Walras og Barones løsning av produksjonsutmattelse Problem:

Etter Wicksteed, Wicksell, Walras og Barone, hver uavhengig, avanserte en mer tilfredsstillende løsning på problemet at marginalt bestemte faktorbelønninger bare ville avgjøre det totale produktet. Disse forfatterne antok at den typiske produksjonsfunksjonen ikke var homogen i første grad, men var slik at den ga U-formet langsiktig gjennomsnittskostnadskurve.

De påpekte at i det lange løp under perfekt konkurranse var firmaet i likevekt i det minste punktet i den langsiktige gjennomsnittlige kostnadskurven. På det laveste punktet av den langsiktige gjennomsnittlige kostnadskurven er avkastningen til sc ale kortvarig konstant, det vil si at avkastningen til skalaen er konstant innenfor rekkevidden av små variasjoner av utgang.

Dermed er tilstanden som kreves for de marginalt bestemte belønningene for å avgjøre totalproduktet, det vil si driften av konstant avkastning i skala, oppfylt ved minimumspunktet for den langsiktige gjennomsnittlige kostnadskurven, der et perfekt konkurransedyktig firma er i lang tid likevekt. Således når det gjelder perfekt langsiktig likevekt, kan Euler Theorem brukes, og hvis faktorene er betalt belønninger som tilsvarer deres marginale produkter, vil det totale produktet være akkurat utmattet.

Hicks-Samuelsons løsning på produktutmattelsesproblemet :

Etter Wicksell ga Walras og Barone, JR Hicks og PA Samuelson mer tilfredsstillende løsning på problemet med produktutmattelse. Det grunnleggende poenget å merke seg i løsningen er at det er markedsforholdene med perfekt konkurranse med sin viktige funksjon av null økonomisk fortjeneste i det lange løp og ikke den første grad-homogene produksjonsfunksjonen som sikrer at hvis faktorer blir betalt belønninger som tilsvarer deres marginale produkter, totalt verdi produkt ville være bare oppbrukt.

I en perfekt konkurransedyktig markedsstruktur gjør foretakene ikke økonomisk fortjeneste eller tap. Således løsningen av produktutmattelsesproblemet i tilfelle bedrifter som arbeider i konkurransedyktige faktormarkeder hvor faktorer betales likt deres marginalprodukter, vil eksistensen av perfekt konkurranse på produktmarkedene sikre null økonomiske fortjeneste i det lange løp. Vurder figur 32.15 hvor et perfekt konkurransedyktig firma er i langsiktig likevekt ved minimumspunktet for den langsiktige gjennomsnittlige kostnadskurven LAC som produserer nivå av utgang OQ til pris OP.

Det samlede verdiproduktet produsert av firmaet i denne langsiktige likevekten er lik området OPEQ. Siden pris OP er lik gjennomsnittlig kostnad (AC) på denne langsiktige likevektsutgangen med null rent fortjeneste, vil totalverdiprodukt (PQ) være lik totalprisen (TC). Og dermed

I langsiktig konkurransevekt:

Totalt verdiprodukt (PQ) = w.L + Kr ... (1)

Nå krever marginalproduktivitetsteori om distribusjon

w = VMP _L = P.MPP _L ... (2)

r = VMP _K = P. MPP _K ... (3)

Hvor w og r er henholdsvis priser på arbeidskraft og kapital og MPP _L og MPP _K er marginale fysiske produkter med henholdsvis arbeidskraft og kapital og P er prisen på produktet.

Ved å erstatte verdiene til w og r i ligning (1) har vi

PQ = L. (P. MPP _L ) + K. (P. MPP _K )

Deler begge sider av P vi har

Q = L.MPP _L + K. MPP _K

Det vil si, dersom arbeidskraft og kapital blir betalt likt deres marginale fysiske produkter, vil totalproduksjonen bare være oppbrukt.

Det er viktig å merke seg at i motsetning til Wicksteeds og Wicksells løsninger, Walras og Barone, viser løsningen fra Hicks og Samuelson produktuttaket uten å anta konstant avkastning (dvs. førstegradshomogen produksjonsfunksjon) og uten å bruke Euler-setningen. De beviser det ved bare å anta forhold med perfekt markedsstruktur.

Fordelen med Hicks-Samuleson-løsningen er at den fremhever når forholdene til et perfekt konkurransedyktig marked ikke holder, det vil si når det er enten monopol eller ufullkommen konkurranse i produktmarkedet eller monopsony eller ufullkommen konkurranse i faktormarkedet, ikke få belønninger som tilsvarer verdien av deres marginale produkter, og utnyttes derfor av entreprenørene som kan nyte store økonomiske profitt.