Sentral tendens: Betydning, bruk og tiltak
Sentral tendens: Betydning, bruk og tiltak!
Betydning av sentral tendens:
Tiltak av sentral tendens er en kombinasjon av to ord, dvs. "mål" og "sentral tendens". Mål betyr metoder og sentral tendens betyr gjennomsnittlig verdi av en hvilken som helst statistisk serie. Dermed kan vi si at sentral tendens betyr metodene for å finne ut den sentrale verdien eller gjennomsnittsverdien av en statistisk serie kvantitativ informasjon.
JP Guilford har påpekt at "et gjennomsnitt er en sentral verdi av en gruppe observasjoner eller enkeltpersoner."
Ifølge Clark "Average er et forsøk på å finne en enkelt figur for å beskrive hele figuren."
I ordene til AE Waugh "Et gjennomsnitt er en enkelt verdi valgt fra en gruppe verdier for å representere dem på samme måte - en verdi som skal stå for hele gruppen som den er en del av, som typisk for alle verdiene i gruppen. "
Således kan det sies at en gjennomsnittlig eller sentral tendens er en enkelt figur som beregnes fra en gitt distribusjon for å gi en sentral ide om hele serien. Verdien av gjennomsnittet ligger innenfor maksimums- og minimumsverdien i serien.
Bruk av sentral tendens:
Den sentrale tendensen er nødvendig av følgende grunner:
1. Gjennomsnitt gir det overordnede bildet av serien. Vi kan ikke huske hver eneste fakta knyttet til et felt av henvendelse.
2. Gjennomsnittlig verdi gir et klart bilde om feltet under studiet for veiledning og nødvendig konklusjon.
3. Den gir en kortfattet beskrivelse av gruppens ytelse som helhet, og det gjør det mulig for oss å sammenligne to eller flere grupper med hensyn til typisk ytelse.
Tiltak av sentral tendens:
Det er tre tiltak av sentral tendens, for eksempel:
(1) Det aritmetiske gjennomsnittet.
(2) Medianen og
(3) modusen.
(1) Mean (M):
For en vanlig mann betyr gjennomsnittet det aritmetiske gjennomsnittet. Det er mest populært brukt på grunn av sin enkelhet, stivhet etc.
Et aritmetisk gjennomsnitt er definert som "kvoten oppnådd ved å dele summen av verdiene av en variabel med totalt antall observasjoner eller elementer."
II.E. Garett (1985 P) definerer "Den aritmetiske middelverdien eller mer bare, middelværdien er summen av de separate resultatene eller målene divideres med deres nummer."
Metoder for beregning av middel:
Det er flere metoder for beregning av gjennomsnitt. Men her skal vi bare diskutere to metoder.
De er som følger:
1. Direkte metode eller lang metode.
2. Kort metode eller antatt gjennomsnittlig metode.
1. Direkte metode eller lang metode:
I denne metoden beregnes gjennomsnittet direkte fra den angitte serien. I denne metoden kan vi beregne gjennomsnittet fra de ugrupperte dataene og formelen for beregning av gjennomsnitt fra ikke-grupperte data.
Formelen for beregning av gjennomsnitt fra ikke-grupperte data er:
Fra de grupperte dataene beregnes gjennomsnittet med følgende formel:
Illustrasjon:
Beregn gjennomsnittet fra følgende frekvensfordeler ved direkte metode:
2. Kort metode eller antatt metode:
Det er kjent som antatt gjennomsnittlig metode fordi i stedet for å beregne middel fra midtpunktene antar vi at det er gjennomsnittlig å finne ut de gjennomsnittlige. Først gjetter vi oss eller antar et middel, og deretter bruker vi en korreksjon til denne antatte verdien for å finne den eksakte verdien.
Formelen for å finne ut gjennomsnittet i den antatte middelmetoden er gitt nedenfor:
Nedenfor diskuteres trinnene for å beregne gjennomsnitt i kort metode:
Trinn 1:
Anta noe midtpunkt for fordelingen som gjennomsnittlig. Men den beste planen er å ta midtpunktet av et intervall nær sentrum som har den største frekvensen.
Steg 2:
Finn ut x-kolonnen, x 'er avviket mellom poengsummen og det antatte gjennomsnittet.
Her kan vi finne ut x 'ved å bruke følgende formel:
Step-3:
Finn ut fx kolonne. Det er funnet ut ved å multiplisere f kolonne med x 'kolonne.
Step-4:
Finn ut Σ f x. Legg til alle positive verdier og negative verdier separat. Finn deretter ut algebraisk sum som er Σ f x.
Step-5:
Finn ut gjennomsnittet ved å bruke formel 9.4.
Illustrasjon:
Finn ut gjennomsnittet av fordelingen i antatt gjennomsnittlig metode.
I en matematikkprøve er karakterene til de 50 studentene presentert i følgende distribusjon:
Her har vi tatt 44, 5 midtpunktet av Ci 40-49 som antatt å si. Nå kan vi finne ut med å bruke formel-8.4.
Kombinert middel:
De separate midlene til en rekke forskjellige serier kan produsere det kombinerte aritmetiske gjennomsnittet for alle de forskjellige seriene når antall elementer i hver av disse seriene er gitt. Dette beregnes med følgende formel når antall grupper er n.
Illustrasjon:
Nedenfor er gitt gjennomsnittet av VI klasselever av 4 skoler. Hva er gjennomsnittet av VI klassestudenter generelt.
Vi kan finne ut kombinert gjennomsnitt ved å bruke formel 9.5:
Så er gjennomsnittet av alle VI-studentene 55, 25.
Bruk av betydning:
Det er visse generelle regler for bruk av gjennomsnitt. Noen av disse bruksområder er som følger:
1. Midler er tyngdepunktet i fordelingen, og hver poengsum bidrar til bestemmelsen av det når spredningen av resultatene er symmetrisk rundt et sentralt punkt.
2. Middel er stabilere enn median og modus. Slik at når målet av sentral tendens som har størst stabilitet er ønsket, er det brukt.
3. Midlere brukes til å beregne annen statistikk som SD, korrelasjonsfaktor, ANOVA, ANCOVA etc.
Meriter av betydning:
1. Mean er stift definert slik at det ikke er spørsmål om misforståelse om dens betydning og natur.
2. Det er den mest populære sentrale tendensen som det er lett å forstå.
3. Det er lett å beregne.
4. Det inkluderer alle resultatene av en distribusjon.
5. Det påvirkes ikke av prøvetaking, slik at resultatet er pålitelig.
6. Mean er i stand til ytterligere algebraisk behandling, slik at forskjellig annen statistikk som spredning, korrelasjon, skjevhet krever gjennomsnitt for beregning.
Demerits of Mean:
1. Mean er påvirket av ekstreme score.
2. Noen ganger mener er en verdi som ikke er til stede i serien.
3. Noen ganger gir det absurde verdier. For eksempel er det 41, 44 og 42 studenter i klasse VIII, IX og X i en skole. Så gjennomsnittlig studenter per klasse er 42, 33. Det er aldri mulig.
4. I tilfelle av åpne intervaller, kan det ikke beregnes uten å anta størrelsen på de åpne endeklassene.
(2) Median:
Median er et annet mål for sentral tendens. Det er et posisjonelt gjennomsnitt fordi verdien sin bestemmes med referanse til sin posisjon i verdikolonnen i en serie. I Collins Dictionary of Statistics er den definert som "middelverdien i en distribusjon, under og over som ligger verdier med like totale frekvenser eller sannsynligheter."
D. Patri (1996) definerer median "som verdien av det midterste elementet i en serie arrangert i stigende eller synkende rekkefølge. Som sådan deler den en serie i to like deler. "
Median kan defineres som et punkt på fordelingen under hvilke femti prosent tilfeller og over hvilke femti prosent tilfeller ligger.
Beregning av median fra uoppfordret data:
I tilfelle ugruppert data blir scoreene ordnet i størrelsesorden. Deretter finner du midtpunktet, som er medianen. I denne prosessen oppstår to situasjoner ved beregning av median, (a) N er merkelig (b) N er jevn. Først skal vi diskutere hvordan å beregne median (Mdn) når N er merkelig.
Illustrasjon:
I en klasse 9 har studentene sikret følgende karakterer i en ordforrådstest. Finn ut medianen.
Marks-6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9
I ugrupperte data
La oss diskutere hvordan du kan beregne Mdn når N er jevn.
Illustrasjon:
Beregn Mdn av følgende data på 10 studenter med staveprøve på engelsk.
Merker = 7, 6, 8, 12, 7, 9, 11, 10, 13, 14
For å løse problemet må vi ordne i størrelsesorden
6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Nå bruker vi formel 8.6 vi får;
Beregning av median fra grupperte data:
Vi vet at medianen er et punkt som fordeler fordelingen i to like halvdeler.
Formelen for å finne ut median fra grupperte data lyder som følger:
Hvor L = Nedre grense for medianklassen.
Median klasse er den klassen hvis kumulative frekvens er større enn verdien av N / 2 dvs. N / 2> cf (kumulativ frekvens)
N / 2 = Halvparten av det totale antall poeng.
F = Kumulativ frekvens av klassen intern under median klassen.
fm = Frekvens av median klassen.
i = Størrelse på klassen internals.
Fremgangsmåte for å beregne mdn fra grupperte data:
Trinn 1.
Beregn N / 2 dvs. 50% av fordelingen.
Steg 2:
Beregn kumulativ frekvens av fordelingen fra nedre ende.
Step-3:
Finn ut mdn-klassen. Den kumulative frekvensen av klasseintervallet hvor N / 2> jfr
Step-4:
Finn ut F den kumulative frekvensen under mdn-klassen.
Step-5:
Finn ut f m . og sett alle verdiene i formel.
Illustrasjon:
Finn ut medianen av distribusjonen.
Nedenfor er gitt score på 40 studenter i en matematikkprøve:
L = 59, 5. Fordi N / 2 ie 20 er inkludert i den kumulative frekvensen av klasseintervallet 60-61, og de nøyaktige grensene for Ci = 59, 5-61, 5.
F = 17. Den kumulative frekvensen under mdn-klassen.
fm = 7. Den nøyaktige frekvensen av mdn-klassen.
i = 2. Størrelse på klasseintervallet.
Nå legger verdien inn i formelen
Mdn av fordelingen er 60, 63.
Mdn kan også beregnes fra den øvre grensen for distribusjonen. Formelen for å finne ut mdn ved å ta øvre grenser, leser slik.
Hvor U = Den øvre grensen til Mdn-klassen.
F 1 = Kumulativ frekvens av klasseintervallet over Mdn-klassen.
fm = Frekvens av median klassen.
i = Størrelsen på klasseintervallet.
trinn:
Ved beregning av Mdn fra øvre grense er den eneste forskjellen vi må beregne kumulativ frekvens fra den øvre enden.
Illustrasjon:
U = 61, 5. Fordi den kumulative frekvensen 23 inkluderer N / 2 dvs. 20.
F = 16. Kumulativ frekvens av klasseintervallet over Mdn-klassen.
fm = 7 frekvens av median klassen.
i = 2
Mdn er 60, 36.
Det er også noen eksepsjonelle tilfeller av beregning av median. Dette er når frekvensfordelingen inneholder hull og når klassens intervaller er åpne, avsluttes. Først av alt skal vi diskutere når det er hull i frekvensfordeling.
Når det er sammenhengende 0 frekvenser på klasseintervallene hvor Mdn ligger, er det vanskelig å finne ut Mdn-klassen. I dette tilfellet legger vi 0 frekvensintervaller til de ovennevnte og undervisende intervaller.
Følgende illustrasjon forklarer prosessen tydelig:
Illustrasjon:
Finn ut Mdn av følgende serier:
L = 49, 5. Den nedre grensen til Ci hvor Ci er større enn N / 2.
F = 4 Cf av Ci under Mdn-klassen
f m = 2. Mdn-frekvensenes frekvens.
i = 10. Størrelsen på Ci
Setter verdiene i formel 8.7.
Så Mdn av fordelingen er 57.
Den andre situasjonen er at når det er åpne sluttintervall i begge endene. I dette tilfellet kan de åpne endene holdes åpne eller det kan konverteres til de spesifikke klassene. En illustrasjon er gitt nedenfor.
Illustrasjon:
30 studenter har sikret følgende karakterer i en matematikkprøve. 4 studenter har sikret under 10 poeng. 6 studenter har sikret karakterer mellom 10 til 20, 10 studenter mellom 20-30, 8 studenter mellom 30-40, 7 studenter mellom 40-50 og 3 studenter over 50. Finn ut Mdn.
L = 19, 5. Nedre grense for Mdn-klassen, dvs. 20-30.
F = 10. Cf av Ci under Mdn-klassen.
fm = 10
i = 10
Så Mdn av fordelingen er 28, 5.
Bruk av median:
1. Median brukes når det nøyaktige midtpunktet for fordelingen er nødvendig eller 50% -punktet er ønsket.
2. Når ekstreme score påvirker gjennomsnittet på den tiden, er median det beste målet for sentral tendens.
3. Median brukes når det kreves at visse score skal påvirke den sentrale tendensen, men alt som er kjent om dem er at de er over eller under medianen.
4. Median brukes når klassene er åpne, eller den har ujevn celle størrelse.
Meriter av median:
1. Det er lett å beregne og forstå.
2. Alle observasjonene kreves ikke for beregningen.
3. Ekstreme score påvirker ikke medianen.
4. Det kan avgjøres fra serie med åpen serie.
5. Det kan bestemmes ut fra ulik klasseintervaller.
Demerits of Median:
1. Det er ikke stivt definert som gjennomsnittlig fordi verdien ikke kan beregnes, men ligger.
2. Det inkluderer ikke alle observasjonene.
3. Det kan ikke behandles videre algebraisk som gjennomsnittlig.
4. Det krever arrangering av poengene eller klasseintervallene i stigende eller synkende rekkefølge.
5. Noen ganger produserer det en verdi som ikke finnes i serien.
(3) Modus:
Modus er de hyppigst forekommende poengene i en distribusjon. Som et gjennomsnitt representerer det den mest typiske verdien av en serie som nesten faller sammen med eksisterende elementer. Det påvirkes aldri av ekstreme score, men av ekstreme frekvenser av verdiene. For å bestemme modusen finnes det forskjellige metoder.
Noen av de viktige metodene diskuteres nedenfor:
Metoder for å bestemme modus:
1. Inspeksjonsmetode
2. Grupperingsmetode
3. Empirisk relasjonsmetode
1. Inspeksjonsmetode:
I denne metoden bestemmes modusen bare ved observasjon. Her bestemmes modusen ved å observere den hyppigst forekommende poengsummen eller klasseintervallet mot hvilket maksimalfrekvensstandene er tatt som modalklassen. Når to slike verdier eller klasseintervaller har samme forekomst eller frekvens, blir både poengsumene eller klasseintervallene tatt som modus. ' Og distribusjonen kalles som en bi-modal distribusjon. Hvis mer enn to slike verdier eller klasseintervaller er der, blir det alliert som en multimodal distribusjon.
2. Grupperingsmetode:
Når verdien forskjellen mellom høyeste frekvens og neste høyeste frekvens er svært lav på den tiden er det ikke trygt å bestemme modusen i inspeksjonsmetode. I slike tvilsomme tilfeller ble bruker grupperingsmetode.
I denne metoden blir det først utarbeidet et grupperingstabell eller en redegjørelse for gruppering av frekvensene. I denne setningen legger du verdiene eller klassene av verdier i venstre kolonne og deres tilsvarende frekvenser i neste kolonne. I neste kolonne (2) grupperer du frekvensene i to med utgangspunkt i den første frekvensen. Deretter i den tredje kolonnen grupperer frekvensene i to fra og med den andre frekvensen. I den neste kolonnen grupperes frekvensene i treår fra 1. frekvens.
I neste kolonne grupperer frekvensene i treårene fra 2. frekvens. I den siste kolonnen grupperer frekvensene i treårene fra 3. frekvens. Når grupperingen er over, identifiser maksimaltallet (ene) for hver av de 6 kolonnene ved å sette en sirkel.
Neste trinn er å forberede en analyse tabell for å finne modal verdi eller modal klasse. I denne tabellen presenteres sannsynlige modalverdier i den øverste horisontale linjen under de forskjellige kolonnene, og de forskjellige kolonnene vil bli lagt til venstre på bordet.
Verdiene som viser maksimale grupperte frekvenser i grupperingstabellen, blir identifisert med et merke mot den respektive kolonnen. Antallet slike merker satt under sannsynlig verdi kolonnene vil bli samlet nederst i denne tabellen. Sannsynlig verdi som viser maksimum av slik total vil bli identifisert som modalverdi modalklassen etter hvert.
Følgende illustrasjon gir bedre forståelse:
Illustrasjon:
Ovennevnte analyse tabell viser at rundt score 60, maksimale klynger dvs. totalt 4. Så her er 60 den modale verdien.
Når dataene er i kontinuerlig serie, kan vi beregne modus ved å bruke følgende formel:
Hvor M 0 = Modus
L 0 = Nedre grense for modalklassen
f 2 = frekvens av klassen etterfølgende modal klasse.
f 0 = frekvens av klassen foregående modal klasse.
i = Størrelsen på klasseintervallet.
Illustrasjon:
Fra følgende data bestemmer modusen:
Løsning:
Her inneholder klasseintervall 20-25 høyeste frekvens. Slik at det kan betraktes som modalklassen
Her:
3. Empirisk forholdsmetode:
Dette er den mest effektive metoden for å bestemme modus. Prof Karl Pearson har planlagt denne metoden. Prof Pearson har funnet ut at i en moderat asymmetrisk eller skjev serie eksisterer et relevant forhold mellom middel, median og modus. I slike serier er avstanden mellom middel og median 1/3 av avstanden mellom middel og modus.
Illustrasjon:
Finn ut modusen fra distribusjon gitt ovenfor.
Løsning:
Gjennomsnittet av fordelingen er 25, 94
Medianen i fordelingen er 23, 83
M 0 = 3 Median-2 middel
M 0 = 3 X 23, 83-2 x 25, 94
= 71, 49-51, 88
= 19, 61 (Ca.
Bruk av modus:
Modusen brukes:
(i) Når vi vil ha et raskt og omtrentlig mål for sentral tendens.
(ii) Når vi ønsker et mål på sentral tendens som bør være typisk verdi. For eksempel når vi vil vite den typiske kjole-stilen til indiske kvinner, dvs. den mest populære klesstilen. På denne måten kalles de gjennomsnittlige karakterene av en klasse modale karakterer.
Meriter av modus:
1. Modus gir den mest representative verdien av en serie.
2. Modus påvirkes ikke av noen ekstreme score som gjennomsnitt.
3. Det kan bestemmes ut fra et åpent sluttintervall.
4. Det hjelper med å analysere kvalitative data.
5. Modus kan også bestemmes grafisk gjennom histogram eller frekvenspolygon.
6. Modus er lett å forstå.
demerits:
1. Modus er ikke definert stivt som gjennomsnittlig. I enkelte tilfeller kan det komme ut med forskjellige resultater.
2. Det inkluderer ikke alle observasjoner av en distribusjon, men på konsentrasjonen av frekvensene av elementene.
3. Videre algebraisk behandling kan ikke gjøres med modus som gjennomsnittlig.
4. I multimodale og bimodale tilfeller er det vanskelig å bestemme.
5. Modus kan ikke bestemmes ut fra ulik klasseintervaller.
6. Det finnes forskjellige metoder og forskjellige formler som gir forskjellige resultater av modusen, og det er med rette merket som den mest sykefinerte gjennomsnittet.
