Sentensiell beregning: Symbolisering, Sannhetsfunksjoner og deres interdefinabilitet

Sentensiell beregning: Symbolisering, Sannhetsfunksjoner og deres interdefinabilitet!

Symbolisering - Verdien av spesielle symboler:

Argumenter presentert på engelsk eller noe annet naturlig språk er ofte vanskelig å vurdere på grunn av den vage og uavhengige karakteren av de brukte ordene, deres tvetydighet, deres misvisende idiomer, deres potensielt forvirrende metaforiske stil og forstyrrelsen som skyldes uansett følelsesmessig betydning de kan uttrykke.

Selv etter at disse vanskelighetene er løst, er det fortsatt problemet med å bestemme validiteten eller ugyldigheten av argumentet. For å unngå de perifere vanskeligheter, er det praktisk å sette opp et kunstig symbolsk språk, fri for slike feil, der uttalelser og argumenter kan formuleres.

Bruken av en spesiell logisk notasjon er ikke særegen for moderne logikk. Aristoteles brukte også variabler for å lette sitt eget arbeid. Selv om forskjellen i denne sammenheng mellom moderne og klassisk logikk ikke er en artig, men av grad, er forskjellen i grad enorm.

Jo større grad moderne logikk har utviklet sitt eget spesielle tekniske språk, har gjort det umåtelig kraftigere et verktøy for analyse og fradrag. De spesielle symbolene i den moderne logikken hjelper oss med større tydelighet å vise de logiske strukturer av proposisjoner og argumenter hvis former kan tyde på at det er uklarhet i det vanlige språket.

En ytterligere verdi av logikerens spesielle symboler er den hjelpen de gir i selve bruken og manipuleringen av uttalelser og argumenter. Situasjonen her er sammenlignbar med den som førte til erstatning av romerske tall i arabisk notasjon. Vi vet alle at arabiske tall er tydeligere og lettere forstått enn de eldre romerske tallene de fordrev.

Men den virkelige overlegenhet av arabiske tall er åpenbart bare i beregning. Enhver student kan enkelt multiplisere 113 med 9. Men å multiplisere CXIII ved IX er en vanskeligere oppgave, og vanskeligheten øker etter hvert som større og større tall betraktes. Tilsvarende tilrettelegges tegningen av inferences og vurdering av argumenter i stor grad ved å vedta en spesiell logisk notasjon.

Moderne logikere tror at ved hjelp av symbolikken kan vi gjøre overganger i begrunnelse nesten mekanisk av øyet, noe som ellers ville kalle inn i de høyere fakultetene i hjernen.

Fra dette synspunkt, paradoksalt nok, er logikk ikke opptatt av å utvikle våre tankekrefter, men med å utvikle teknikker som tillater oss å utføre noen oppgaver uten å måtte tenke så mye.

Symbolene for konjunktjon, negasjon og disjunksjon:

Vi deler alle setninger i to generelle kategorier, enkle og sammensatte. En enkel setning er en som ikke inneholder noen annen setning som komponent. For eksempel er "Sudhirs ærlige" en enkel setning. En sammensatt setning er en som inneholder en annen setning som komponent. For eksempel er "Sudhirs ærlige og Sudhirs intelligente" en sammensatt setning, for den inneholder to enkle setninger som komponenter.

Begrepet en komponent i en erklæring er ganske grei, selv om det ikke er akkurat det samme som "en del som selv er en uttalelse." For eksempel, de siste fire ordene i uttalelsen "Mannen som skutt Lincoln var en skuespiller" kan faktisk betraktes som en uttalelse i seg selv. Men denne uttalelsen er ikke en del av den større setningen som disse fire ordene er en del av.

For en del av en erklæring som er en del av det erklæringen må to betingelser være oppfylt: For det første må delen være en uttalelse i sin egen rett, og for det andre, hvis delen er erstattet i den større setningen med en hvilken som helst annen erklæring, Resultatet av denne utskiftningen vil være meningsfylt. Selv om den første tilstanden er oppfylt i eksemplet gitt, er det andre ikke det. For hvis delen "Lincoln var en skuespiller" er erstattet med "det er løver i Afrika", er resultatet det nonsensiske uttrykket "Mannen som skutt der, er løver i Afrika."

Konjunktjon :

Konjunktjon er en type sammensatt setning. Vi kan danne sammenhengen mellom to setninger ved å plassere ordet "og" mellom dem; De to uttalelsene så kombinert kalles "konjunkturer". Således er sammensetningen "Sudhirs ærlige og Sudhirs intelligente" en sammenheng, hvis første konjunktur er "Sudhirs ærlige" og hvis andre konjunktur er "Sudhirs intelligente".

Ordet "og" er et kort og praktisk ord, men det har andre bruksområder i tillegg til det som kreves. For eksempel er setningen "Nehru og Netaji samtidige" ikke en sammenheng, men en enkel setning som uttrykker et forhold. For å få et unikt symbol hvis eneste funksjon er å koble sammen setninger sammen, presenterer vi prikken "•" som vårt symbol for sammenheng. Dermed kan den tidligere sammenhengen skrives som "Sudhirs ærlige Sudhirs intelligente." Mer generelt, hvor p og q er noen to setninger uansett, er deres sammenheng skrevet p • q.

Vi vet at alle uttalelser er enten sanne eller falske. Derfor sier vi at alle setninger har en sannhetsverdi, hvor sannhetsverdien av en sann setning er sant, og sannhetsverdien av en falsk erklæring er falsk. Ved å bruke dette begrepet "sannhetsverdi" kan vi dele sammensatte setninger i to forskjellige kategorier, alt etter om sannhetsverdien av sammensatt setning er bestemt helt av sannhetsverdiene til komponentene, eller bestemt av noe annet enn sannhetsverdiene av dens komponenter.

Vi bruker dette skillet til Conjunctions. Sandverdien av sammenhengen mellom to uttalelser bestemmes helt og fullt av sannhetens verdier av de to konjunktene. Hvis begge konjunkturene er sanne, er konjunkturen sant; ellers er det falskt. Av denne grunn sies en sammenheng å være en sannhetsfunksjonell sammensatt setning, og dens konjunkturer sies å være sannhetsfunksjonelle komponenter av den.

Ikke alle sammensatte setninger er sannhetsfunksjonelle, men. For våre nåværende formål definerer vi en komponent av en sammensatt setning for å være en sannhetsfunksjonell komponent av det, forutsatt at hvis komponenten erstattes i forbindelsen ved forskjellige setninger som har samme sannhetsverdi som hverandre, produseres de forskjellige sammensatte setninger av de erstatninger vil også ha de samme sannhetsverdiene som hverandre. Og nå definerer vi en sammensatt setning som en sannhetsfunksjonell sammensatt setning hvis alle dens komponenter er sannhetsfunksjonelle komponenter av den.

En sammenheng er en sannhetsfunksjonell sammensatt setning, slik at vårt prikksymbol er et sannhetsfunksjonelt bindemiddel. Gitt noen to uttalelser, /; og q, det er bare fire mulige sett med sannhetsverdier de kan ha. Disse fire mulige tilfellene, og sannhetsverdien av sammenhengen i hver, kan vises som følger:

Hvor p er sant og q er sant, er p • q sant.

Hvor p er ekte og q er falsk, er p • q feil.

Hvor p er falsk og q er sant, er p • q falsk.

Hvor p er falsk og q er feil, er p • q falsk.

Hvis vi representerer sannhetsverdiene "sanne" og "falske" med store bokstaver T og F, kan bestemmelsen av sannhetsverdien av en sammenheng ved sannhetens verdier bli representert mer kort og tydeligere ved hjelp av sannhet bord som

Det er praktisk å forkorte enkle uttalelser med store bokstaver, generelt ved hjelp av dette formålet et brev som vil hjelpe oss med å huske hvilken uttalelse den forkorter. Således bør vi forkorte "Sudhirs ærlige og Sudhirs intelligente" som H • I.

Noen sammenhenger, begge konjunkturer har samme emnebegrep - for eksempel "Byron var en stor dikter og Byron var en stor eventyrer" - er mer kort og kanskje mer naturlig uttalt på engelsk ved å plassere "og" mellom predikatevilkårene og Ikke gjentatt emnebegrepet, som i "Byron var en stor dikter og en stor eventyrer." For vårt formål ser vi sistnevnte som formulering.

Den samme setningen som den tidligere og symboliserer enten en likegyldig som P • A. Hvis begge sammenhenger av en sammenheng har samme predikatperiode, som i "Lewis var en berømt explorer og Clark var en kjent utforsker", ville sammenhengen vanligvis være uttalt på engelsk ved å plassere "og" mellom fagbetingelsene og ikke gjenta predikatet, som i "Lewis og Clark var kjente oppdagelsesreisende". Enten formulering er symbolisert som L • C.

Som vist av sannhetstabellen som definerer prikksymbolet, er en sammenheng sant hvis og bare hvis begge konjunkturene er sanne. Men ordet "og" har en annen bruk der den betyr ikke bare (sannhetsfunksjonell) sammenheng, men har følelsen av "og senere", som betyr temporal suksess.

Dermed uttalelsen "Jones kom inn i landet i New York og gikk rett til Chicago" er betydelig og kan være sant, mens "Jones gikk rett til Chicago og kom inn i landet i New York", er neppe forståelig.

Og det er ganske forskjell mellom «Han tok av seg skoene sine og kom seg i seng» og «Han gikk i seng og tok av seg skoene sine.» Vurderingen av slike eksempler understreker ønsket om å ha et spesielt symbol med en utelukkende sannhetsfunksjonell konjunktiv bruk.

Det bør bemerkes at de engelske ordene "men", "likevel", "også", "fortsatt", "selv om", men "" dessuten "" likevel "og så videre, og til og med komma og semikolon, kan også brukes til å forbinde to setninger i en enkelt sammensatt setning, og i deres konjunktiv betydning kan de alle representeres av prikk symbolet.

negasjon:

Negasjonen (eller motstridende eller benektelse) til en uttalelse på engelsk dannes ofte ved å sette inn et "ikke" i den opprinnelige utsagnet. Alternativt kan man uttrykke negasjonen av en uttalelse på engelsk ved å prefikse uttrykket "det er falskt at" eller "det er ikke tilfelle det." Det er vanlig å bruke symbolet (kalt "krøll" eller mindre ofte, en "tilde") for å danne negasjonen av en uttalelse. Dermed, hvor M symboliserer uttalelsen "Alle mennesker er dødelige", de ulike uttalelsene

"Ikke alle mennesker er dødelige". "Noen mennesker er ikke dødelige." "Det er falskt at alle mennesker er dødelige", og "Det er ikke tilfelle at alle mennesker er dødelige", er alle likegyldig symbolisert som ~ M. Mer generelt, hvor p er noe utsagn uansett, er negasjonen skrevet ~ s. Det er åpenbart at krøllen er en sannhetsfunksjonell operatør. Negasjonen av en sann setning er falsk, og negasjonen av en falsk erklæring er sant. Dette faktum kan presenteres veldig enkelt og tydelig ved hjelp av et sannhetstabell:

Denne sannhetstabellen kan betraktes som definisjonen av negasjonssymbolet.

Disjunksjon:

Disjunksjonen (eller vekslingen) av to setninger er dannet på engelsk ved å sette ordet "eller" mellom dem. De to komponent uttalelsene så kombinert kalles "disjuncts" (eller "alternativer"). Det engelske ordet "eller" er tvetydig, og har to relaterte men skilleverdige betydninger.

En av dem er eksemplifisert i uttalelsen "Avsetninger fravikes ved sykdom eller arbeidsledighet", for det er åpenbart at premieavtalen ikke bare gjelder for syke og for arbeidsledige, men også for personer som er syke og arbeidsledige.

Denne følelsen av ordet "eller" kalles "svak" eller "inkluderende". En inkluderende disjunksjon er sant i tilfelle den ene eller den andre eller begge disjunktene er sanne; bare hvis begge disjunktene er falske er deres inkluderende disjeksjon falsk. Den inkluderende "eller" har følelsen av "enten, muligens begge."

Ordet "eller" brukes også i sterk eller eksklusiv forstand, der meningen ikke er "minst én", men "minst én og maksimalt en." Hvor en restaurant lister "salat eller dessert" på middagsmenyen, er det tydelig at det for den oppgitte prisen på måltidet kan spise en eller den andre, men ikke begge.

Vi tolker den inkluderende disjunksjonen i to uttalelser som en påstand om at minst en av setningene er sant, og vi tolker deres eksklusive disjunction som en påstand om at minst en av setningene er sant, men ikke begge er sanne.

Merk at de to slags disjunction har en del av deres betydning til felles. Denne partielle felles betydningen at minst en av disjunktene er sant, er hele meningen med det inkluderende "eller" og en del av meningen med det eksklusive "eller".

Hvor p og q er noen to setninger uansett, er deres svake eller inkluderende disjunction skrevet av p ᵛ q. Vårt symbol for inkluderende disjunksjon (kalt "kile" eller, mindre ofte en "vee") er også en sannhetsfunksjonell bindende. En svak disjunksjon er bare feil hvis begge disjunktene er falske. Vi kan se kilen som definert av følgende sannhetstabell:

Det første eksemplaret som ble presentert i denne delen var en disjunktiv syllogisme.

Den blinde fange har en rød hue, eller den blinde fange har en hvit lue.

Den blinde fange har ikke en rød hue.

Derfor har den blinde fange en hvit lue.

Dens form er preget av å si at dens første premiss er en disjunction; sin andre premiss er negasjonen av den første premissen av den første premissen; og dens konklusjon er det samme som det andre utgangspunktet i første premiss. Det er tydelig at den disjunktive syllogismen, slik definert, er gyldig på en hvilken som helst tolkning av ordet "eller" det vil si, uansett om en inkluderende eller eksklusiv disjunksjon er ment.

Siden det typiske gyldige argumentet som har en disjunksjon for en premiss, er, som den disjunktive syllogismen, gyldig på enten tolkning av ordet "eller", kan en forenkling utføres ved å oversette det engelske ordet "eller" inn i vårt logiske symbol "ᵛ" - Uansett hvilken betydning av det engelske ordet "eller" er ment.

Hvor begge disjunktene har enten samme emnebegrepet 'eller det samme predikatordet, er det ofte naturlig å komprimere formuleringen av disjunksjonen på engelsk ved å plassere "eller" at det ikke er nødvendig å gjenta fellesdelen av de to disjunktene .

Dermed er "Smith enten eier eller Smith er lederen" like godt sagt som "Smith er enten eier eller leder", og enten er en riktig symbolisert som O v M. Og "Enten Red er skyldig eller Butch er skyldig "vil ofte bli oppgitt som" Enten Rød eller Butch er skyldig ", enten en er symbolisert som R ᵛ B.

Ordet "med mindre" er ofte brukt til å danne disjunction av to setninger. Dermed vil «Du gjør dårlig på eksamen, med mindre du studerer», er riktig symbolisert som P. S. Årsaken er at vi bruker "med mindre" å bety at hvis den ene proposisjonen ikke er sann, er den andre eller vil være sann.

Men ordet "med mindre" er noen ganger brukt til å formidle mer informasjon enn det; Det kan bety at ett eller annet forslag er sant, men det er ikke begge sant. Det vil si at "med mindre" kan være ment som et eksklusivt disjunction.

Således skrev Jeremy Bentham: "Det som er politisk bra kan ikke være moralsk dårlig, med mindre reglene for aritmetikk, som er gode for et stort antall, er dårlige for en liten." Her forfatteren betydde at minst en av de to disjunktene er sant, men han foreslo tydeligvis at de ikke begge kan være sanne.

Tegnsetting:

På engelsk er tegnsetting absolutt nødvendig hvis kompliserte påstander skal være klare. Mange forskjellige skilletegn brukes, uten hvilke mange setninger vil være svært tvetydige. På språket av symbolsk logikk er de samme tegnsettingstegnene parenteser, parenteser og braces - like viktig, fordi i logiske sammensatte setninger blir de ofte sammensatt til mer kompliserte.

Dermed er p • q ᵛ r tvetydig. Det kan bety sammenhengen av p med disjunksjonen av q med r, eller det kan bety disjunksjonen hvis første disjunkt er sammenhengen mellom p og q og hvis andre disjunkt er r. Vi skiller mellom disse to forskjellige sansene ved å skille mellom den gitte formelen som p • (q ᵛ r) eller ellers som (p • q) ᵛ r.

At de forskjellige måtene til å skille mellom den opprinnelige formelen gjør en forskjell, kan ses ved å vurdere saken der p er feil og q og r begge er sanne. I dette tilfellet er den andre tegnsettformelen sant (siden den andre disjunktet er sant), mens den første er falsk (siden den første konjunkturen er feil).

Her skillet i tegnsetting gjør hele forskjellen mellom sannhet og løgn, for ulike tegnsetting kan tilordne forskjellige sannhetsverdier til den tvetydige p • q ᵛ r. Negasjonen av en disjunction blir ofte dannet ved bruk av uttrykket "verken-heller ikke". Således er utsagnet "Enten Shakespeare eller Bernard Shaw den største dramatiker" kan motsiges av uttalelsen. "Verken Shakespeare eller Bernard Shaw var den største dramatiker." Disjunksjonen skulle symboliseres som S v B, og dens negasjon som enten ~ (S B) eller som (~ S) • (~ B).

Gitt et sett med tegnsettingstegn for vårt symbolske språk, er det mulig å skrive ikke bare sammenhenger, negasjoner og svake disjunksjoner i den, men også eksklusiv disjunction. Den eksklusive disjunksjonen av p og q hevder at minst en av dem er sant, men ikke begge er sanne, som er skrevet ganske enkelt som (p ᵛ q) '~ (p • q).

Enhver sammensatt setning som er konstruert fra enkle setninger som bare bruker de sannhetsfunksjonelle forbindelsene - prikk, krøll og kil - har sin sannhetsverdi helt bestemt av sannheten eller falskheten av dens enkle setninger.

Hvis vi kjenner sannhetsverdiene til enkle utsagn, er sannhetsverdien av enhver sannhetsfunksjonell forbindelse av dem lett beregnet. For eksempel, hvis A og B er sanne og X og Y er falske setninger, beregner vi sannhetsverdien av den sammensatte setningen ~ [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B) som følger. Siden X er falsk, er sammenhengen A • X falsk, tørk så negativet ~ (A • X) er sant. B er sant; så negasjonen ~ B er feil, og siden Y er falsk, er disjeksjonen av Y med ~ B, Y ~ ~ B, falsk.

Den brakede formelen [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B)] er sammenhengen mellom en ekte og en falsk setning og er derfor feil. Derfor er negasjonen, som er hele utsagnet, sant. En slik trinnvis prosedyre gjør det alltid mulig for oss å bestemme sannhetsverdien av en sammensatt setning fra sannhetsverdiene til komponentene.

Betingede uttalelser og materielle konsekvenser:

Når to setninger kombineres ved å plassere ordet "hvis" før det første og sette inn ordet "da" mellom dem, er den resulterende sammensatte setningen en betinget (også kalt en "hypotetisk", en "implikasjon" eller en "implisativ uttalelse" .) På en betinget måte er komponenterklæringen som følger "hvis" kalt "antecedent" og komponentoppstillingen som følger "da" den "konsekvente".

For eksempel, "Hvis Mr. Jones er bremsens nabo nabo, tjener Mr. Jones nøyaktig tre ganger så mye som brakemanen" er en betinget uttalelse der «Mr Jones er bremsens nabo nabo» er antecedent og 'Mr. Jones tjener nøyaktig tre ganger så mye som brakeman'en er konsekvent.

Vi introduserer nå et spesielt symbol for å representere dette, felles delvis betydning av "if-then" frasen. Vi definerer det nye symbolet "z כ" (kalt en hestesko) ved å ta p כ q som en forkortelse av ~ (p • q). Den nøyaktige betydningen av "3" -symbolet kan angis ved hjelp av en sannhetstabell:

Her er de første to kolonnene veiledningskolonnene; de legger ganske enkelt ut alle mulige kombinasjoner av sannhet og løgn for p og q. Den tredje kolonnen er fylt ut med henvisning til den andre, den fjerde med henvisning til den første og den tredje, den femte med henvisning til den fjerde, og den sjette er identisk med den femte per definisjon.

Symbolet "כ" skal ikke anses å betegne betydningen av "hvis-da" eller stå for forholdet mellom implikasjoner. Det ville være umulig, for det er ingen eneste mening om "hvis-da"; det er flere betydninger. Men symbolet "z כ" er helt entydig. Hva pdq forkortes er ~ (p • ~ q), hvis betydning er inkludert i betydningen av hver av de forskjellige typer implikasjoner som anses, men som ikke utgjør hele meningen med noen av dem.

Vi kan betrakte symbolet "כ" som en annen form for implikasjon, og det vil være hensiktsmessig å gjøre det, siden en praktisk måte å lese p כ q er "hvis p da q." Men det er ikke den samme typen implikasjon som noen av de nevnte tidligere. Det kalles «materielle implikasjoner» av logikere, som ved å gi det et spesielt navn innrømme at det er et spesielt begrep, ikke å forveksle med andre, mer vanlige, typer implikasjoner.

Ingen "ekte forbindelse" mellom antecedent og consequent er foreslått av en materiell implikasjon. Alt det hevder er at det faktisk ikke er tilfellet at antecedenten er sant når den følgelig er falsk. Det skal bemerkes at symbolet for materiell implikasjon er en sannhetsfunksjonell bindende, som symbolene for sammenheng og disjunksjon. Som sådan er det definert av sannhetstabellen.

Som det er definert av sannhetstabellen, har hestesko symbolet "כ" noen funksjoner som i begynnelsen kan virke rart. Hevdet at en falsk antecedent materielt innebærer en sann konsekvens er sant; og påstanden om at en falsk antecedent materielt innebærer en falsk konsekvens er også sant.

Sannhetsfunksjoner og deres Inter-Definability Statement Former, Material Equivalence og Logical Equivalence:

Det er en nøyaktig parallell mellom forholdet mellom argument og argumentform, på den ene side, og forholdet mellom uttalelse og uttalelsesform på den annen side. Definisjonen av "statement form" gjør dette tydelig: Et uttalelsesskjema er en hvilken som helst sekvens av symboler som inneholder utsagnsvariabler, men ingen setninger, slik at når setninger er erstattet av setningsvariablene - blir den samme setningen erstattet av den samme setningsvariabelen gjennom hele Resultatet er en uttalelse.

Således er p ᵛq et uttalelsesskjema, for når setninger er erstattet av variablene p og q, resulterer en setning. Siden den opprinnelige setningen er en disjeksjon, kalles pvq et "disjunktivt uttalelsesskjema." Analogt kalles p • q og p כ q "conjunctive" og "conditional statement forms" og ~ p kalles en "negasjonsform" eller " fornektelsesskjema. "

Akkurat som et hvilket som helst argument av en bestemt form sies å være en substitusjonseksempel av den argumentformen, så er enhver uttalelse av en bestemt form sies å være en substitusjonseksempel av denne uttalelsesform. Og akkurat som vi skildret den spesifikke formen for et gitt argument, skiller vi derfor den spesifikke formen for en gitt uttalelse som den erklæringen, form hvorfra setningen resulterer ved å erstatte en annen enkel setning for hver forskjellige setningsvariabel. Således er pvq den spesifikke formen for uttalelsen "Den blinde fange har en rød lue eller den blinde fange har en hvit lue."

Tautologiske, motstridende og betingede erklæringsskjemaer:

Det er helt naturlig å føle at, selv om uttalelsene "Lincoln ble myrdet" (symbolisert som L) og "Enten Lincoln ble myrdet, ellers var han ikke" (symbolisert som L v ~ L) begge er sanne, de er sanne " på forskjellige måter "eller har" forskjellige slags "sannhet. På samme måte er det helt naturlig å føle at, selv om uttalelsene "Washington ble myrdet" (symbolisert som W) og "Washington ble både myrdet og ikke myrdet" (symbolisert som W • ~ W) er begge falske, de er falske "i forskjellige måter "eller har" forskjellige typer "av løgn. Selv om det ikke utelukker å gi noen form for psykologisk forklaring på disse "følelsene", kan vi likevel påpeke visse logiske forskjeller som de sannsynligvis er hensiktsmessige.

Erklæringen L er sann og setningen W er falsk; Dette er historiske fakta. Det er ingen logisk nødvendighet om dem. Hendelser kan ha skjedd annerledes, og sannhetsverdiene for slike uttalelser som L og W må oppdages av en empirisk studie av historien.

Men utsagnet L v ~ L, men sant, er ikke en sannhet i historien. Det er logisk nødvendighet her: Hendelser kunne ikke ha vært slik som å gjøre det falskt, og dets sannhet kan bli kjent uavhengig av en hvilken som helst empirisk undersøkelse. Uttalelsen L v ~ L er en logisk sannhet, en formell sannhet, sant i kraft av sin form alene. Det er en substitusjonseksempel av en erklæring fra alle sine substitusjonsinstanser er sanne påstander.

En uttalelse fra det har bare sanne substitusjonsinstanser kalles en "tautologisk uttalelsesform" eller en "tautologi." For å vise at uttalelsen fra pv ~ p er tautologi; vi bygger følgende sannhetstabell:

Det er bare en innledende eller veiledende kolonne til denne sannhetstabellen, siden skjemaet som behandles inneholder bare en setningsvariabel. Følgelig er det bare to rader, som representerer alle mulige substitusjonsinstanser.

Det er bare T i kolonnen under det aktuelle formuleringsskjemaet, og dette faktum viser at alle dens substitusjonsinstanser er sanne. Enhver setning som er en substitusjonseksempel av en tautologisk uttalelsesform er sant i kraft av sin form og er selv sagt å være tautologisk eller en tautologi.

En uttalelse fra dette har bare falske substitusjonsinstanser sies å være "selvmodsigende" eller "motsigelse" og er logisk falsk. Erklæringen fra p • ~ p er selvmodsigende, for i sannhetstabellen er det bare F som forekommer under det, og betyr at alle dens substitusjonsinstanser er falske. Enhver uttalelse, som W • ~ W, som er en substitusjonseksempel av en selvmodsigende setningsform, er falsk i kraft av sin form og er selvsagt å være selvmodsigende eller en motsigelse.

Uttalelsesskjemaer som har både sanne og falske utsagn mellom deres substitusjonsinstanser, kalles «betingede uttalelsesformer». Enhver erklæring hvis spesifikke form er betinget kalles en "betinget uttalelse." Således p, p, p, q, pvq og p כ q er alle betingede påmeldingsskjemaer. Og slike utsagn som L, L, L, W, L og W er betingede utsagn, fordi deres sannhetsverdier er avhengige av eller betinget av innholdet i stedet for på deres former alene.

Ikke alle uttalelsesskjemaene er så åpenbart tautologiske eller selvmodsigende eller betingede som de enkle eksemplene som er sitert. For eksempel er setningen [(p כ q) כ p] כ 3 p overhodet ikke tydelig, selv om sannhetstabellen viser at det er en tautologi. Den har til og med et spesielt navn, "Peirce's law."

Materialekvivalens:

To uttalelser sies å være "materielt ekvivalent" eller "ekvivalent i sann verdi", når de er enten begge sanne eller begge falske. Dette begrepet uttrykkes av symbolet "≡". Materialekvivalens er en sannhetsfunksjon og kan defineres av følgende sannhetstabell:

Når to erklæringer er materielt ekvivalente, betyr de materielt hverandre. Dette er enkelt verifisert av et sannhetstabell. Derfor kan symbolet "=" leses "hvis og bare hvis." En erklæring av skjemaet p = q kalles "bi-betinget", og skjemaet kalles også en "bi-betinget".

Logisk ekvivalens:

To setninger er logisk ekvivalente når (setningen av) deres materielle ekvivalens er en tautologi. Dermed er "prinsippet om dobbelt negasjon", uttrykt som den betingede p ≡ ~~ p, vist å være tautologisk ved følgende sannhetstabell:

som viser den logiske ekvivalensen av p ≡ ~ ~ p.

Forskjellen mellom logisk ekvivalens og materialekvivalens er svært viktig. To setninger er logisk ekvivalente bare når det er helt umulig for de to setningene å ha forskjellige sannhetsverdier.

Derfor har logisk tilsvarende setninger samme betydning og kan erstattes av hverandre i en hvilken som helst sannhetsfunksjonell sammenheng uten å endre sannhetsverdien av den konteksten. Men to erklæringer er vesentlig ekvivalente (selv om de ikke har noen faktuelle forbindelser med hverandre) hvis de bare tilfeldigvis har samme sannhetsverdi. Uttalelser som bare er materielt ekvivalente, kan derfor ikke sikkert erstatte hverandre.

De Morgan s teoremer:

Det er to logiske ekvivalenter (dvs. logisk sanne bi-betingelser) av noen iboende interesse og betydning som uttrykker sammenhenger mellom sammenheng, disjunksjon og negasjon. Siden disjunksjonen pvq påstår at minst en av sine to disjunkturer er sant, er det ikke motsagt ved å hevde at minst en er falsk, men bare ved å hevde at begge er falske. På den måten hevder negasjonen av disjunksjonen pvq logisk ekvivalent med å hevde sammenhengen mellom negasjonene av p og q. I symboler har vi den tobetingede ~ (pvq) ≡ (~ p • ~ q), hvis logiske sannhet er etablert av følgende sannhetstabell:

På samme måte, siden påståelse av sammenhengen mellom p og q hevder at begge er sanne, for å motsette seg denne påstanden, må vi bare hevde at minst en er falsk. Dermed er det hevdet at negasjonen av konjunktjonen p • q er logisk ekvivalent med å påvise disjeksjonen av negasjonene av p og q. I symboler har vi den bi-betingede ~ (p • q) ≡ (~ p ᵛ ~ q), som lett viser seg å være en tautologi.

Disse to tautologe bi-conditionals er kjent som De Morgan's teoremer, etter å ha blitt uttalt av matematiker og logiker Augustus De Morgan (1806-1871). De Morgan's teoremer kan gis en kombinert formulering på engelsk som

Negasjonen av {Disjunction / conjunction} av to setninger er logisk ekvivalent med {Konjunktjon / disjunksjon} negasjoner av de to setningene.

Sannhetstabeller:

For å teste et argument skjema undersøker vi alle mulige substitusjonsinstanser for å se om noen av dem har sanne premisser og en falsk konklusjon. Selvfølgelig har noen formularer uendelig mange substitusjonsfelter, men vi trenger ikke bekymre oss om å måtte undersøke dem en om gangen. Fordi vi bare er interessert i sannheten eller løgn om deres premisser og konklusjoner, trenger vi bare å vurdere de sannhetsverdiene som er involvert.

Argumentene som angår oss her inneholder bare enkle setninger og sammensatte setninger som er bygget opp av enkle utsagn ved hjelp av de sannhetsfunksjonelle forbindelsene som symboliseres av prikken, krøllen, kilen og hesteskoen.

Derfor oppnår vi alle mulige substitusjonsinstanser hvis premisser og konklusjoner har forskjellige sannhetsverdier ved å undersøke alle mulige forskjellige ordninger av sannhetsverdier for de setningene som kan erstattes - for de forskjellige setningsvariablene i argumentformen som skal testes.

Hvor en argumentasjonsform inneholder bare to forskjellige setningsvariabler, p og q, er alle dens substitusjonsinstanser resultatet av enten å erstatte sanne setninger for både p og q, eller en sann setning for p og en falsk en for q eller en falsk en for p og en sann for q, eller falske setninger for både p og q. Disse forskjellige tilfellene er samlet mest hensiktsmessig i form av et sannhetstabell. Å bestemme gyldigheten av argumentet

Hver rad i dette tabellen representerer en hel klasse av substitusjonsinstanser. T og F i de to første eller veiledningskolonnene representerer sannhetsverdiene til setningene som er erstattet av variablene p og q i argumentformen. Vi fyller ut den tredje kolonnen ved å referere tilbake til innledende eller veiledende kolonner og definisjonen av hestesko symbolet.

Den tredje kolonneoverskriften er den første "premiss" av argumentformen, den andre kolonnen er den andre "premiss", og den første kolonnen er "konklusjonen." Ved å undersøke denne sannhetstabellen finner vi at i tredje rad er det T er under både premisser og en F under konklusjonen, noe som indikerer at det er minst en substitusjonseksempel av denne argumentasjonsformen som har sanne premisser og en falsk konklusjon.

Denne raden er nok til å vise at argumentet er ugyldig. Any argument of this specific form (that is, any argument the specific argument form of which is the given argument form) is said to commit the fallacy of affirming the consequent, since its second premiss affirms the consequent of its conditional first premiss.

Some Common Valid Argument Forms:

Disjunctive Syllogism:

It is one of the simplest valid argument forms which relies on the fact that, in every true disjunction, at least one of the disjuncts must be true. Therefore, if one of them is false, the other must be true. We symbolize the Disjunctive Syllogism as follows:

Here, too, the initial or guide columns exhibit all possible different truth values of statements that may be substituted for the variables p and q. We fill in the third column by referring back to the first two and the fourth by reference to the first alone.

Now the third row is the only one in which T's appear under both premisses (the third and fourth columns), and there a T appears under the conclusion also (the second column). The truth table thus shows that the argument form has no substitution instance having true premisses and a false conclusion and thereby proves the validity of the argument from being tested.

Modus Ponens:

The simplest type of intuitively valid argument involving a conditional statement is illustrated by the argument:

If there is the sun, there is light.

There is the sun.

There is light.

The specific form of this argument, known as modus ponens, is

Here the two premisses are represented by the third and first columns, and the conclusion is represented by the second. Only the first row represents substitution instances in which both premisses are true, and the T in the second column shows that in these arguments the conclusion is true also. This truth table establishes the validity of any argument of form modus ponens.

Modus Tollens:

We have seen that if a conditional statement is true, then if the consequent is false the antecedent must be false. This form of argument is very commonly used to establish the falsehood of some proposition in doubt. At the scene of an accident, police may reason thus:

If there is the sun, there is light.

There is no light.

There is no sun.

The argument would be symbolized as:

The validity of this argument form, called modus tollens, may be shown by the following truth table

Here again there is no substitution instance, no line, on which the premisses, p ﬤq and ~q, are both true and the conclusion, ~p, is false.

Hypothetical Syllogism:

Another common type of intuitively valid argument contains only conditional statements. Her er et eksempel:

If a man works sincerely, he is successful.

If man is successful, he gets happiness.

If a man works sincerely, he gets happiness.

The specific form of this argument is

Since this argument, called “Hypothetical Syllogism, ” contains three distinct statement variables, the truth table here must have three initial or guide columns and will require eight rows for the listing of the possible substitution instances. Besides the initial columns, three additional columns are required: two for the premisses, the third for the conclusion. The table appears as

In constructing it, we fill in the fourth column by referring back to the first and second, the fifth by reference to the second and third, and the sixth by reference to the first and third. Examining the completed table, we observe that the premisses are true only in the first, fifth, seventh, and eighth rows and that in all of these the conclusion is true also. This truth table establishes the validity of the argument form and proves that the Hypothetical Syllogism also remains valid when its conditional statements are translated by means of the horseshoe symbol.

Formal Proof of Validity:

In theory, truth tables are adequate to test the validity of any argument of the general type here considered. But in practice they grow unwieldy as the number of component statements increases. A more efficient method of establishing the validity of an extended argument is to deduce its conclusion from its premisses by a sequence of elementary arguments each of which is known to be valid. This technique accords fairly well with ordinary methods of argumentation.

Consider, for example, the following argument:

If Sapna was nominated, then she went to Delhi.

If she went to Delhi, then she campaigned there.

If she campaigned there, she met Harish.

Sapna did not meet Harish.

Either Sapna was nominated or someone more eligible was selected.

Therefore someone more eligible was selected.

Its validity may be intuitively obvious, but let us consider the matter of proof. The discussion will be facilitated by translating the argument into our symbolism as

To establish the validity of this argument by means of a truth table would require one with thirty-two rows, since there are five different simple statements involved. But we can prove the given argument valid by deducing its conclusion from its premisses by a sequence of just four elementary valid arguments.

From the first two premisses A ﬤ B and BﬤC we validly infer A ﬤ C by a hypothetical syllogism. From A ﬤC and the third premiss C ﬤ D we validly infer A ﬤ D by another hypothetical syllogism. From A ﬤD and the fourth premiss ~D we validly infer ~A by modus tollens. And from ~A and the fifth premiss A ᵛ E, by a disjunctive syllogism we validly infer E, the conclusion of the original argument.

That the conclusion can be deduced from the five premisses of the original argument by four elementary valid arguments proves the original argument to be valid. Here the elementary valid argument forms hypothetical syllogism (HS), modus tollens (MT), and disjunctive syllogism (DS) are used as rules of inference in accordance with which conclusions are validly inferred or deduced from premisses.

A more formal proof of validity is given by writing the premisses and the statements that we deduce from them in a single column; and setting off in another column, to the right of each such statement, its “justification, ” or the reason we can give for including it in the proof.

It is convenient to list all the premisses first and to write the conclusion slightly to one side, separated by a diagonal line from the premisses. The diagonal line automatically labels all statements above it as premisses. If all the statements in the column are numbered, the “justification” for each statement consists of the numbers of the preceding statements from which it is inferred, together with the abbreviation for the rule of inference by which it follows from them. The formal proof of the argument above is written as:

We define a formal proof that a given argument is valid to be a sequence of statements each of which is either a premiss of that argument or follows from preceding statements of the sequence by an elementary valid argument, such that the last statement in the sequence is the conclusion of the argument whose validity is being proved.

We define an elementary valid argument to be any argument that is a substitution instance of an elementary valid argument form. One matter to be emphasized is that any substitution instance of an elementary valid argument form is an elementary valid argument. Thus the argument

is an elementary valid argument because it is a substitution instance of the elementary valid argument form modus ponens (MP). It results from

by substituting A • B for p and C ≡ (D v E) for q and is therefore of that form even though modus ponens is not the specific form of the given argument.

Modus ponens is a very elementary valid argument form indeed, but what other valid argument forms are to be included as rules of inference? We begin with a list of just nine rules of inference to be used in constructing formal proofs of validity:

Rules of Inference:

1. Modus Ponens (MP)

pﬤq