Lineær programmering: applikasjoner, definisjoner og problemer

Lineær programmering: Programmer, definisjoner og problemer!

(i) Å utvikle planlegging for næringsmiddelindustrien og for petroleumsraffinaderier mv.

ii) I metallindustrien brukes den til butikkbelastning og for å bestemme valget mellom kjøp og produksjon av ulike deler.

(iii) Det brukes til å vurdere ulike jernmalm i jern- og stålindustrien.

(iv) Det brukes til å redusere antall trimtap i papirfabrikker.

(v) Det brukes til å finne den optimale rutingen av massasjer i kommunikasjonsnettverket.

Lineær programmeringsdefinisjon:

Lineær programmering er et matematisk verktøy / teknikk for å bestemme den beste bruken av organisasjonens ressurser. Linjær programmering er laget for å hjelpe ledere angående planlegging og beslutningstaking. Som et verktøy for beslutningstaking har det vist sin verdi på ulike områder som produksjon, markedsfinansiering, forskning og personaloppgaver.

Bestemmelse av optimal produktmiks, transportplaner porteføljevalgsmaskinoppgave; anleggssted og tildeling av arbeidskraft mm er de få typer problemer som kan løses ved hjelp av lineær programmering.

"Analysen av problemer der en lineær funksjon av en rekke variabler skal maksimeres (eller minimeres) når disse variablene er underlagt antall eller begrensninger i form av lineære i likheter", Samuelson og Slow.

Ifølge Loomba, "Linjær programmering er bare ett aspekt av det som har blitt kalt en systemtilnærming til ledelse der i alle programmer er utformet og evaluert i forhold til deres ultimate innvirkning på realiseringen av forretningsmålene".

Lineære programmeringsproblemer-grafisk metode:

Trinnene i grafisk metode kan oppsummeres som følger;

1. Formuler det lineære programmeringsproblemet

2. Tegn de angitte begrensningslinjene i betraktning av dem som ligninger

3: Fra grafen over kan du identifisere løsningsområdet

4. Finn hjørnepunktet for den mulige løsningsregionen.

5. Beregn verdien av objektivfunksjonen på hjørnepunktene.

6. Velg nå punktet der objektivfunksjonen har optimal verdi.

Eksempel 1:

Etter å ha fullført oppførelsen av hans timer, oppdaget Mr. Gopalan at 100 kvadratmeter kryssfinerskrap og 80 kvadratmeter hvit furuskrot er i brukbar form som kan brukes til bygging av bord og bokomslag. Det tar 16 kvadratmeter av kryssfiner og 8 kvadratmeter med hvit furu for å lage et bord, 12 kvadratmeter kryssfiner og 16 kvadratmeter hvit furu er nødvendig for å bygge en bokhylle. Ved å selge de ferdige produktene til en lokal forhandler kan han realisere en fortjeneste på Rs. 25 på hvert bord og Rs. 20 på hver bokhylle. Hvordan kan han mest lønnsomt bruke venstre over treet. Bruk grafisk metode for å løse LLP

Løsning:

La oss anta at X ₂ er nei av tabeller og X ₂ er nei av boksaker slik at

For å plotte begrensningen på grafen midlertidig vil vi konvertere ulikhetene til ligning som følger:

Enhver kombinasjon av verdi av x ₁ og x ₂ som tilfredsstiller slike begrensninger, kalles mulig løsning. Område OABC i figur 15.1 tilfredsstilt av begrensningen er vist med skyggelagt område og er kjent som mulig løsning region.

Maks Z = 160

x ₁ = 4

x ₂ = 3 ans.

Eksempel 2:

En møbler produsent produserer stoler og bord. Dataene som er gitt nedenfor viser ressursforbruket og enhedsresultatet. Videre antas det at ved og arbeid er de to ressursene som forbrukes i produksjon av møbler. Eieren til firmaet vil bestemme hvor mange stoler og bord som skal gjøres for å maksimere totalresultatet.

Løsning:

La x, være antall tabeller x2 være nei. av stoler slik at.

Nå for å plotte begrensningene på grafen midlertidig vil vi konvertere ulikhetene til ligninger:

Tilsvarende i ligning

Enhver kombinasjon av verdi av x og som tilfredsstiller den angitte begrensningen er kjent som mulig løsning. Området OABC 'm Fig. 15.2 tilfredsstilt av begrensninger er vist med skyggefullt område og er kjent som mulig løsningsområde. Koordinatet til punktet på hjørnet av regionen kan oppnås ved å løse de to ligningene på linjene som skjærer på punkt B

Dermed er Z = 96

x ₁ = 4

x ₂ = 9 ans.

Eksempel 3:

Et selskap produserer to typer penn, sier A & B. Pen A er en overlegen kvalitet og 6 er en lavere kvalitet. Fortjeneste på penner A og B er Rs. 5 og Rs.3 per penn henholdsvis. Råmateriale som kreves for hver penn A er to ganger som for penn B.

Tilførselen av råvarer er tilstrekkelig kun for 1000 penner av type B per dag. Penn A krever et spesielt klipp og kun 400 slike klipp er tilgjengelig per dag. For penn B er det bare 700 klipp tilgjengelig per dag. Finn grafisk produktblandingen slik at selskapet kan få maksimal profitt.

(Delhi University MBA april 1988)

Løsning:

La x ₁ = Antall Type A-penner

x ₂ = Antall Type B penner

Den matematiske formuleringen av problemene er

Ved å konvertere ulikheter av de ovennevnte begrensninger til likeverd for å plotte grafen vi får

Ved å plotte ovenstående linjer på grafen har vi x ₁ x ₂ tilfredsstille alle de tre begrensningene som x ₁ ≥ 0 og x ₂ ≥ 0 slik at figur 15.3 ovenfor utgjør ODABE som mulig region.

De ulike punktene er vurdert som under.

Det fremgår av ovenstående tabell at maksimal verdi er Rs. 2850 ved punkt B

Så x ₁ = 150, x ₂ = 700 og Z = 2850

Eksempel 4:

GJ Breveries Ltd. Å ha to flaskeplanter, en lokalisert ved G og den andre ved J. Hver plante produserer tre drikker-whisky, øl og brennevin, henholdsvis A, B og C. Antall flasker produsert per dag er som følger.

Et marked indikerte at i juli måned vil det være behov for 20000 flasker whiskyflasker, 40000 flasker øl og 44000 flasker brandy. Driftskostnadene per dag for planter G og J er 600 og 400 monetære enheter. For hvor mange dager går hvert anlegg i juli for å minimere produksjonskostnadene, samtidig som markedet etterspør? Løs grafisk?

Løsning:

Dataene til problemet er som følger:

Nå er målet å minimere kostnadene problemet kan presenteres på matematisk måte som følger.

For å plotte begrensningene i grafen, må ulikhetene i de ovennevnte begrensningene omdannes til likeverd vi får

1500x ₁ + 1500x ₂ = 20000

3000x ₁ + 1000x ₂ = 40000

20000x ₁ + 5000x ₂ = 44000

Forenkle ovennevnte ligninger vi har

Løsningen vil være i den første kvadranten, siden hver av dem skjedde til å være større enn eller lik type begrensninger, slik at poengene (x _v x ₂ ) vil være i regionen som faller til høyre for hver av linjene som er plottet.

Form grafen ovenfor, ubundet løsning er ABC, og for å finne verdien ved B løser vi interseksjonsligningen og samtidig.

Eksempel 5:

Leder av et oljeraffinaderi må bestemme seg for den optimale blandingen av to mulige blandingsprosesser hvor inngangene og produksjonen per produksjonsløp er som følger:

Maksimumsbeløpet for rå A og B er henholdsvis 200 enheter og 150 enheter. Markedsbehov viser at minst 100 enheter ganolin X og så bensin Y-enheter må produseres.

Overskudd per produksjon som går fra prosess 1 og prosess 2 er Rs. 300 og Rs. 400 henholdsvis. Løs LP ved hjelp av grafisk metode.

(Gujarat University MBA 1989)

Løsning:

Per data er den matematiske formuleringen av problemene

Maks Z = 300x ₁ + 400x ₂

Underlagt

5x ₁ + 4x2 = ≤ 200

3x ₁ + 5x ₂ = ≤ 150

5x ₁ + 4x ₂ = ≥ 100

8x ₁ + 4x ₂ = ≥ 80

For å plotte disse begrensningene på grafen, la oss betrakte disse i likheter som ligning slik

Hvis vi plotter verdier på grafen, får vi det som vist på figur 15.5.

Løsningen ligger på et av hjørnepunktene i løsningsområdet LMN, O, P og for å bestemme den ukjente verdien dvs. av O løser vi kryssningsekvasjonene samtidig dvs.

Eksempel 6:

Et firma produserer produkt x og y har en total produksjonskapasitet på 9 tonn fortsatt. Per dag x & y krever samme produksjonskapasitet. Bedriftene har en fast kontrakt for å levere minst 2 tonn x og minst 3 toner per dag til et annet selskap. Hver tonn x krever 20 maskintimer produksjonstid og hvert tonn y krever 50 maskintimer produksjonstid.

Daglig maksimalt antall maskintimer er 360. Alt firmaets produksjon kan selges og fortjenesten er Rs. 80 per tonn x og Rs. 120 per tonn y. Det er pålagt å avgjøre produksjonsplanen for maksimalt overskudd og å beregne produksjonsplanen for maksimal fortjeneste og å beregne resultat.

(Delhi universitet MBA april 1983)

Løsning:

Gitte LP kan skrives matematisk som følger:

La ulikhetene bli behandlet som ligninger med det formål å plotte over verdiene på grafen som følger:

La oss plotte disse ligningene på grafen som vist i figur 15.6.

Fra diagrammet er det klart at EFGH er løsningsområdet og løsningen ligger på hjørnepunktet til EFGH.

Verdien ved inspeksjon på

E = (2, 3)

F = (6, 3)

For punkt "Verdien kan beregnes ved samtidige ligninger av linjens intervall på H. dvs.

20x ₁ + 50x ₂ = 360

x ₁ = 2

x ₂ = 320/50 = 6, 4

Som klok ved punkt G som er skjæringspunktet av ligninger

20x ₁ + 50x ₂ = 360 ... (1)

x ₁ + x ₂ = 9 ... (2)

Løse disse ligningene vi får

x ₁ = 3, x ₂ = 6

Maksimal fortjeneste er ved punkt G. dermed.

x ₁ = 3

x ₂ = 6

Z = 960 Ans.

Eksempel 7:

Standardvekten til en spesialformål er 5 kg og inneholder to grunnleggende ingredienser 6 ₁ og S ₂ koster Rs. 5 per kg og S ₂ koster Rs. 8 per kg.

Kraftoverveielse dikterer at mursteinen inneholder ikke mer enn 4 kg S og minst 2 Kg S ₂ siden etterspørselen etter produktet sannsynligvis vil være relatert til prisen på mursteinen, finne ut grafisk minimumskostnad for murstein som tilfredsstiller ovennevnte forhold.

(ICWA juni 1982)

Løsning:

Gitte data kan gis den matematiske formen som følger:

Hvis vi behandler ulikhetene av begrensninger som likning for øyeblikket, slik at ligningen kan plottes på grafen, fikk vi det.

Nå plotter vi disse verdiene på grafen.

Siden en av begrensningene er likestilling x ₁ + x ₂ = 5. Det er ingen løsning, heller et løsningspunkt som tilfredsstiller alle forholdene, dvs. punkt S (3, 2)

Z = 31

x ₁ = -3

x ₂ = 2Ans.

Eksempel 8:

Løs grafisk følgende lineære programmeringsproblem.

Løsning:

For å tegne grafen som konverterer ulikhetene til de angitte begrensningene til likeverd, får vi det

Nå plott de ovenstående linjene på grafen som vist på figur 15.8 Den gjennomførbare løsningsområdet som er kryss skygget og er begrenset av ABCDE. Verdien av Z på forskjellige punkter er som følger.

Poenget A linjene krysser er

2x ₁ - x ₂ = -2

2x ₁ + 3x2 = 12

Å løse dem samtidig får vi

x ₁ = 0, 75

x ₂ = 3, 5

Ved punkt B er linjene som skjærer

2x ₁ - x ₂ = -2

-3x ₁ + 4x2 = 12

Å løse disse ligningene får vi koordinater for B som

x ₁ = 0, 8

x ₂ = 3, 6