Normal sannsynlighetskurve: Beregning, egenskaper og applikasjoner

Les denne artikkelen for å lære om beregning, egenskaper og anvendelser av normal sannsynlighetskurve i statistikk.

Beregning av normal sannsynlighetskurve:

Hvis en mynt kastes upartisk, vil den falle enten hodet (H) eller halen (T). Dette sannsynligheten for å oppstå et hode er en sjanse i to. Så sannsynligheten for H er ½ og T er ½.

På samme måte skal vi kaste to mynter, mynt x og mynt y det er fire mulige måter å falle på.

Således er de fire mulige måtene-både x og y kan falle H, x kan falle T og y H, x kan falle H og yT, eller begge kan falle T.

Uttrykt i forhold

Sannsynlighet for to hoder = ¼

Sannsynlighet for to haler = ¼

Sannsynligheten for en H og en T = ¼

Sannsynligheten for en T og en H = ¼

Dermed er forholdet ¼ + ½ + ¼ = 1, 00

Det forventede utseendet på hoder og haler av to mynter kan uttrykkes som:

(H + T) ² = H2 + 2HT + T2

Hvis vi skal øke antall mynter til tre dvs. x, y og z, kan det være åtte mulige ordninger.

Det forventede utseendet på hoder og haler av mynter kan uttrykkes som:

På denne måten kan vi bestemme sannsynligheten for forskjellige kombinasjoner av hoder og haler av et hvilket som helst antall mynter. Vi kan få sannsynlighet for et hvilket som helst antall mynter ved binomial ekspansjon. Et uttrykk som inneholder to termer kalles binomial uttrykk. Binomialteorem er en algebraisk formel som utvider kraften til binomial uttrykk i form av en serie.

Formelen leser slik:

(H + T) ⁿ = C (n, 0) H ⁿ + C (n, 1) H ^n-1 T + C (n, 2) H ^{( n-2)} T ² ....

... + C (n, r) H ^nr T ^r + .... + C (n, n) T ⁿ ... (11.1)

Hvor C = Mulige kombinasjoner.

C (n, r) = n! / R! (n - r)!

n! betyr 1 x 2 x 3 x .... xn

n = Totalt antall observasjoner eller personer.

r = Antall observasjoner eller personer tatt om gangen.

Dermed binomial ekspansjon av

Hvis de ovennevnte dataene er plottet på en graf som histogram og frekvenspolygon, blir det som nedenfor (figur 11.1)

Dermed er figuren vi fikk fra kaste med 10 mynter (H + T) ¹⁰ en symmetrisk mangesidig polygon.

Og hvis vi skal fortsette å øke antall mynter, vil polygonet med hver økning vise en perfekt jevn overflate linje figur 11.2 nedenfor:

Denne klokkeformede kurven kalles som 'Normal Sannsynlighetskurve'. Dermed er "grafen for sannsynlighetsdensitetsfunksjonen til den normale fordeling en kontinuerlig klokkeformet kurve, symmetrisk om den gjennomsnittlige" kalles normal sannsynlighetskurve.

I statistikk er det viktig fordi:

(a) Det er fordelingen av mange naturlig forekommende variabler, for eksempel intelligens av 8. klasse studenter, høyde på 10. klasse studenter etc.

(b) Fordelingen av prøvemidlene trukket fra de fleste foreldrepopulasjoner er normal eller omtrent så når prøvene er tilstrekkelig store.

Derfor har normal kurve stor betydning i samfunnsvitenskap og atferdsvitenskap. Ved atferdsmåling nærmer de fleste aspektene til den normale fordeling. Slik at normal sannsynlighetskurve eller mest populært kjent som NPC brukes som referanse kurve. For å forstå verktøyet til NPC må vi forstå egenskapene til NPC.

Egenskaper for normal sannsynlighetskurve:

Noen av de viktigste egenskapene ved normal sannsynlighetskurve er som følger:

1. Kurven er bilateralt symmetrisk.

Kurven er symmetrisk til sin ordinat av kurvens midtpunkt. Det betyr at størrelsen, formen og hellingen til kurven på den ene siden av kurven er identisk med den andre siden av kurven. Hvis kurven er bisected, stemmer den høyre side helt til venstre side.

2. Kurven er asymptotisk:

Den normale sannsynlighetskurven nærmer seg den horisontale akse og strekker seg fra -∞ til + ∞. Betyr at de ekstreme endene av kurven har en tendens til å berøre basislinjen, men aldri berøre den.

Den er avbildet i figur (11.3) gitt nedenfor:

3. Middel, Median og modus:

Den gjennomsnittlige, median og modus faller på midtpunktet og de er numerisk like.

4. Bøyningspunktene opptrer ved ± 1 Standardavviksenhet:

Punktene for tilstrømning i en NPC forekommer ved ± 1σ til enhet over og under gjennomsnittet. Således endres kurven fra konveks til konkav i forhold til den horisontale akse.

5. Det totale arealet av NPC er delt inn i ± standardavvik:

Summen av NPC er delt inn i seks standardavviksenheter. Fra sentrum er det delt inn i tre + ve 'standardavviksenheter og tre-ve' standardavviksenheter.

Således ± 3σ av NPC inkluderer forskjellige antall tilfeller separat. Mellom ± 1σ ligger mellom 2/3 tilfeller eller 68, 26%, mellom ± 2σ ligger 95, 44% tilfeller og mellom ± 3σ ligger 99, 73% tilfeller og utover + 3σ bare 0, 37% tilfeller faller.

6. Y-ordinaten representerer høyden på normal sannsynlighetskurven:

Y-ordinatet til NPC representerer kurvens høyde. I midten skjer maksimal ordinat. Kurvens høyde i middel eller midtpunkt er betegnet som Y ₀ .

For å bestemme høyden på kurven til enhver tid bruker vi følgende formel:

7. Det er unimodalt:

Kurven har bare ett toppunkt. Fordi maksimal frekvens oppstår bare på ett punkt.

8. Kurvenes høyde svekkes symmetrisk:

Kurvens høyde avtar til begge retninger symmetrisk fra midtpunktet. Betyr M + σ og M - σ er lik hvis avstanden fra middelværdien er lik.

9. Middelet av NPC er μ og standardavviket er σ:

Som gjennomsnittet av NPC representerer befolkningen gjennomsnitt, slik at den representeres av μ (Meu). Standardavviket til kurven er representert ved det greske bokstaven, σ.

10. I normal sannsynlighetskurve er standardavviket 50% større enn Q:

I NPC kalles Q vanligvis den sannsynlige feilen eller PE.

Forholdet mellom PE og a kan angis som følger:

1 PE = .6745σ

1σ = 1, 4826PE.

11. Q kan brukes som måleenhet for å bestemme området innenfor en gitt del:

12. Gjennomsnittlig avvik for gjennomsnittet av NPC er .798σ:

Det er et konstant forhold mellom standardavvik og gjennomsnittlig avvik i en NPC.

13. Modellordinaten varierer i økende grad til standardavviket:

I en normal sannsynlighetskurve varierer den modale ordinaten i økende grad til standardavviket. Standardavviket for normal sannsynlighetskurven øker, den modale ordinaten reduseres og vice versa.

Anvendelser av normal sannsynlighetskurve:

Noen av de viktigste anvendelsene av normal sannsynlighetskurve er som følger:

Prinsippene for normal sannsynlighetskurve brukes i adferdsevitenskap på mange forskjellige områder.

1. NPC brukes til å bestemme prosentandelen tilfeller i en normal fordeling innenfor givne grenser:

Normal Sannsynlighetskurven hjelper oss med å bestemme:

Jeg. Hvilken prosent av tilfellene faller mellom to resultatpoeng.

ii. Hvilken prosent av poengene ligger over en bestemt poengsum for en fordeling.

iii. Hvilken prosent av poengene ligger under en bestemt poengsum for en fordeling.

Eksempel:

Gitt en fordeling av score med et gjennomsnitt på 24 og σ av 8. Forutsatt normalitet, hvilken prosentandel av sakene vil falle mellom 16 og 32.

Løsning:

Her må vi først og fremst konvertere både score 16 og 32 til en standard score.

Ved å skrive inn i tabell-A, tabellområdet under NPC, er det funnet at 34, 13 tilfeller faller mellom gjennomsnittlige og - 1σ og 34, 13 tilfeller faller mellom gjennomsnitt og + 1σ. Så ± σ dekker 68, 26% av tilfellene. Slik at 68, 25% tilfeller faller mellom 16 og 32.

Eksempel:

Gitt en fordeling av score med et gjennomsnitt på 40 og σ av 8. Forutsatt normalitet, hvilken prosentandel av tilfellene vil ligge over og under score 36.

Løsning:

Først og fremst må vi konvertere råpoeng 36 til standardpoengsum.

Inntasting i tabell-A, tabellområdet under NPC er det funnet at 19, 15% tilfeller faller mellom middel og -.5σ. Derfor er den totale andelen tilfeller over poengsummen 36 50 + 19, 15 = 69, 15% og under poengsummen 36 er 50-19, 15 = 30, 85%. Så i distribusjonen er 69, 15% tilfeller over poengsummen 36 og 30, 85% score er under poengsummen 36.

2. NPC brukes til å bestemme verdien av en poengsum hvis prosentilrangering er gitt:

Ved å bruke NPC tabellen kan vi bestemme individets råpoeng dersom prosentilstanden er gitt.

Eksempel:

I en fordeling av score på en doss Pinkys prosentilrangering i statistikk er 65. Gjennomsnittet av fordelingen er 55 med en standardavvik på 10. Finn men den rå scoren av Pinky i Statistikk.

Løsning:

Som Pinkys prosentilstand er 65, så i normal fordeling er stillingen 35% over gjennomsnittet. Ved å skrive inn i bordet 'A' fant vi ut at 35% fra gjennomsnittet er + 1, 04 σ.

Ved å sette verdien i 'Z' score.

3. NPC brukes til å finne grensene i en normal fordeling som inkluderer en gitt prosentandel tilfeller:

Når en distribusjon normalt distribueres og hva vi vet om fordelingen er Mean og Standardavviket på den tiden ved å bruke tabellområdet under NPC, kan vi bestemme grensene som inkluderer en gitt prosentandel tilfeller.

Eksempel:

Gitt en fordeling av score med et gjennomsnitt på 20 og σ av 5. Hvis vi antar normalitet, hvilke grenser vil de inneholde de midtre 75% av tilfellene.

Løsning:

I en normal distribusjon omfatter de 75% tilfellene i gjennomsnitt 37, 5% tilfeller over gjennomsnittet og 37, 5% tilfeller under gjennomsnittet. Fra tabell-A kan vi si at 37, 5% tilfeller dekker 1, 15 σ enheter. Derfor ligger de mellomste 75% tilfellene mellom gjennomsnitt og ± 1, 15 σ enheter.

Så i denne distribusjonen vil midtre 75% tilfeller inneholde grensene 14, 25 til 25, 75.

4. Det brukes til å sammenligne to fordelinger når det gjelder overlapping:

Hvis antall av to grupper på en bestemt variabel fordeles normalt. Det vi vet om gruppen er gjennomsnittlig og standardavviket for begge gruppene. Og vi vil vite hvor mye den første gruppen overlapper den andre gruppen eller omvendt på den tiden, vi kan bestemme dette ved å bruke tabellområdet under NPC.

5. NPC hjelper oss med å dele en gruppe i undergrupper etter viss evne og tildele karakterene:

Når vi ønsker å dele en stor gruppe inn i bestemte undergrupper i henhold til noen spesifisert evne på den tiden, bruker vi standardavviksenhetene til en NPC som skaleringsenheter.

Eksempel:

En prestasjonstest ble administrert til de 600 8. klasse studenter. Læreren ønsker å tildele disse studentene til 4 karakterer, nemlig A, B, C og D, i henhold til deres prestasjoner i testen. Forutsatt at normaliteten av fordelingen av score beregnes, kan antall studenter plasseres i hver gruppe.

Løsning:

Området under en NPC er delt inn i ± 3σ-enheter eller 6σ-enheter.

Her må vi dele studentene inn i 4 seksjoner.

Så hver seksjon har

Så hvis vi skal distribuere seksjonen i rekkefølge av fortjeneste.

Seksjon-A vil være innenfor 1, 5σ til 3σ

Seksjon B vil være innenfor Mean to 1.5σ

Seksjon C vil være innenfor Middel til -1, 5σ

og Seksjon D vil være med i -1, 5σ til - 3σ.

6. NPC bidrar til å bestemme den relative vanskeligheten til testelementer eller problemer:

Når det er kjent at hvilken prosentandel av studenter som har løst et problem, kan vi fastslå vanskelighetsgraden av elementet eller problemet ved å bruke tabellområdet under NPC.

7. NPC er nyttig for å normalisere en frekvensfordeling:

For å normalisere en frekvensfordeling bruker vi Normal Sannsynlighetskurve. For prosessen med å standardisere en psykologisk test er denne prosessen svært viktig.

8. For å teste betydningen av observasjoner av eksperimenter bruker vi NPC:

I et eksperiment tester vi forholdet mellom variabler om disse skyldes tilfeldige svingninger eller feil i prøvetakingsprosedyren, eller det er ekte forhold. Dette gjøres ved hjelp av bordområdet under NPC.

9. NPC brukes til å generalisere om befolkningen fra prøven:

Vi beregner standard feil av gjennomsnitt, standardfeil av standardavvik og annen statistikk for å generalisere om befolkningen som prøven trekkes fra. For denne beregningen bruker vi tabellområdet under NPC.